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  Valeurs propres et vecteurs propres
  Annales de l’Université de Madagascar : série Sciences de la Nature et Mathématiques, volume 13,1976 pp:21 - 58

  Auteur(s) : Raoelina Andriambololona

  Auteur correspondant :

  Mots-clés : ESPACES VECTORIELS/MATRICES/OPERATEURS, THEORIE DES/VALEURS PROPPRES/VECTEURS PROPRES
  
  

  Résumé de l’article

  [FR] Nous calculons l’inverse d’un opérateur de la forme (sI-A) où s est un scalaire, I l’opérateur d’identité et A un opérateur linéaire. Après avoir rappelé les définitions et propriétés des opérateurs Trace, Déterminant, Adj, nous posons le problème des valeurs propres et vecteurs propres. Il est possible de donner les définitions des opérateurs données dans ce travail, définitions utilisant l’algèbre multilinéaire (le calcul altérné). Toutefois, l’étude que nous faisons ne demande comme connaissance que celle de l’algèbre linéaire, et dans ce but, nous avons pris comme définitions certaines des propriétés des opérateurs (c’est le cas par exemple de l’opérateur Adj du paragraphe 2.4) De même, nous utilisons la formulation intrinsèque dans tout ce travail. L’étude du polynôme caractéristique utilise l’algorithme de Souriau, qui donne comme cas particulier le théorème de Cayley-Hamilton. Nous obtenons de même les formules de Newton, la formule de Duncan, le théorème de Hilbert-Dirac. Au problème des vecteurs propres, peut être rattachée aussi la résolvante d’un opérateur linéaire. Ensuite, nous abordons les propriétés des vecteurs propres et du spectre des opérateurs symétriques, hermitiques, orthogonaux et unitaires. Bien que certains de des théorèmes et résultats cités ici soient classiques, les façons de les obtenir ne sont pas toutefois courantes.Nous illustrons à l’aide de plusieurs exemples l’utilisation pratique de l’algorithme de Souriau, algorithme qui présente l’avantage, non seulement d’être calculable sur ordinateur, mais aussi de donner des calculs manuels simples en donnant en même temps l’inverse (sI - A)-1.

  [MG]

  [EN] The calculation of the inverse (sI-A)-1 where s is a-scalar number, I the identity operator, A a linear operator is performed. After the recall of the definitions and proprieties of Spur, Determinant, Adj operators, the eigenvalue and eigenvector problem is tackled. All operators given in the work may be defined using multilinear algebra (alternated calculus). But the present study requires the knowledge of linear algebra only. For this purpose, operators are defined by the means of some of their properties (for instance, this is the case of the operator Adj in the Section 2.4). On equal footing, the intrinsic formulation is used throughout this work. Characteristic polynomial is studied by the use of Souriau’s algorithm and Cayley-Hamilton’s theorem is derived as a particular result. Newton’s formula, Duncan’s formula, Hilbert-Dirac’s theorem are also given. The resolvante of an operator may be related to the eigenvalue problem. Proprties of eingenvectors and of the symmetric, hermitic, orthogonal, unitary operator spectrum are quoted. Though some of the theorems and results here-qutoted are classical, the ways of their derivation are not the usual ones. Many examples illustrte the practical utilization of Souriau’s algorithm which presents the advantage, not only to be performed by a digital computer, bt only to allows simple and handy calculations and to give the calculation of the inverse (sI – A)-1.

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