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  Sur un Cas de détermination d’une fonction numérique par la connaissance de la dérivée approximative
  Annales de l’Université de Madagascar : série Sciences de la Nature et Mathématiques, volume 7, 1970 pp:41 - 47

  Auteur(s) : Pacquement A.

  Auteur correspondant :

  Mots-clés : FONCTIONS (MATHEMATHIQUES)/FONCTIONS NUMERIQUES/ CALCUL INFINITESIMAL/PRIMITIVES (MATHEMATIQUES)
  
  

  Résumé de l’article

  [FR] Il a été déjà prouvé qu’une fonction numérique, ayant en chaque point d’un intervalle une dérivée approximative finie, est déterminée, à une constante additive près, par la connaissance de cette dérivée. Il n’en va évidemment plus de même, si la dérivée approximative n’est connue que presque partout. La fonction initiale possède alors un large degré d’indéterminations. Pour lever l’indétermination, il est nécessaire de faire sur cette fonction des hypothèses supplémentaires. Le but de la présente note est de montrer qu’une fonction est déterminée à une constante additive près par la dérivée approximative presque partout finie, si elle possède les deux propriétés : continuité approximative et absolue continuité généralisée. Ce résultat qui généralise un théorème classique sur les fonctions continues permet d’envisager une extension de la notion de primitive.

  [MG]

  [EN] That the increment of a function is uniquely determined by an everywhere finite approximate derivate is a known fact. The condition for the approximate derivate to be determined everywhere cannot be replaced by the weaker condition “almost everywhere”. In such a case the generating function would be largely undetermined. To preclude this difficulty, further hypotheses are erquired. The aim of this paper is to show that the increment is detremined by an almost everywhere finite approximate derivate, if the function has besides the two following properties : approximate continuity, and generalized absolute continuity in the wide sense. This result generalzes a classical theorem in continuous functions and enables us to contemplate an extension of the concept of the indefinite integral.

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