Accueil > Documentations scientifiques > Revues archivées > Annales de l’Université de Madagascar : série Sciences de la Nature et (...) > volume 14, 1977 > Représentation matricielle des contractions des tenseurs par d’autres (...)

• 
  Représentation matricielle des contractions des tenseurs par d’autres tenseurs
  Annales de l’Université de Madagascar : série Sciences de la Nature et Mathématiques, volume 14, 1977 pp:43 - 58

  Auteur(s : Raoelina Andriambololona

  Auteur correspondant :

  Mots-clés : ANALYSE VECTORIELLE/CALCUL TENSORIEL/MATRICES/ESPACES VECTORIELS/OPERATEURS DE CONTRACTION
  
  

  Résumé de l’article

  [FR] Nous avons donné les représentations matricielles des tenseurs d’ordre quelconque. Nous montrons que les contractions des tenseurs dont nous avons donné l’étude intrinsèque dans la première partie, correspondent à introduire les décompositions en blocs de matrices et à définir les produits droit et gauche de matrices de matrices à l’aide de règles de calcul. Nous obtenons ainsi la représentation matricielle des tenseurs contractés. Les règles de calcul énoncées pour les contractions respectent automatiquement les dispositions en ligne-colonne que nous avons définies dans un autre travail. Elles n’introduisent pas non plus aucune inconsistance dans le formalisme et soulignent les propriétés de covariance et de contravariance ce qui n’est guère le cas quand on représente par exemple le tableau des éléments Mαβ sous forme de matrice où α est un indice de ligne et de β un indice de colonne. Nous voyons aussi l’importance de la convention de sommation d’Einstein ; celle-ci n’est pas uniquement une question de notation ou de convention comme on le pense souvent [6] ; elle est essentielle car elle met en évidence les propriétés de covariance et de contravariance des expressions considérées.

  [MG]

  [EN] Matricial representation of any order tensors has been given in [2] [3] [4]. Tensor contractions the intrinsic study of which is made in the first part of the present work are shown to introduce the splitting of matrices into matrix blocks and to define left and right product of matrix blocks. Matricial representations of contracted tensors are thus obtained. Calculation rules stated for contractions lead to automatic checking of line-column disposition rules which are quoted in the references [2] [3] [4]. No inconsistency is introduced in the formalism ; covariance and countervariance properties are kept on. This is not the case when Mαβ element tableau is arranged as a matrix in which α is considered as line –index and β as column index. The importance of Einstein’s summation convention is to be stressed too. It is not a notation or convention matter uniquely as commonly believed [6]. Einstein’s summation convention is essential because covariance and countervariance properties of expressions thus obtained become obvious.

  Télécharger