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  Fonctions continues sur un groupe compact ultramétrique
  Mada-ETI, Volume1, 2010 pp:1

  Auteur(s) : Randimbindrainibe F., Randriamitantsoa P.A.

  Auteur correspondant : P-ADIQUE/ VALUATION/ ULTRAMETRIQUE/ NON ARCHIMEDIEN/ SUITE (SYSTEME) TRIANGULAIRE/ SUITE DE FONCTIONS TRIANGULAIRE/ ECOMPOSABLE/ COMPACT/ COMPLET/ OUVERT ET FERME (CLOPEN)
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  Résumé de l’article

  [FR] Dans cet article on construit une base orthonormée spéciale de l’espace des fonctions continues sur un groupe compact ultramétrique G concret à valeurs dans un corps K ultramétrique, (ℚp ⊂ K ⊂ ℂp ), que l’on noteraC(G,K). Cette base orthonormée possède la « propriété triangulaire », ce qui donne une généralisation du théorème de Mahler [6] : Le système des polynômes n 0 n z ≥ ⎟ ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎜⎝ ⎛ ⎟ ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎜⎝ ⎛ est une base orthonormée de l’espace des fonctions continues sur le groupe compact des entiers p-adiques Zp à valeurs dans un corps K , noté C(Zp ,K), où K est une extension de ℚ p complet par rapport à la valeur absolue prolongeant la valeur absolue padique p , avec p ≠ 2 , [5, 6]. Pour cela on introduit la notion de « suite et système triangulaires ». Ensuite on étudie la base orthonormée de C(G,K) ayant cette propriété. Enfin on construit deux exemples concrets de bases orthonormées ayant la propriété précédente pour les espaces C(Zp ,K) et C(G(α),K). Mots clés p-adique, valuation, ultramétrique, non archimédien, suite (système) triangulaire, suite de fonctions triangulaire décomposable, compact, complet, ouvert et fermé (clopen)

  [MG]

  [EN] In this paper we build a special orthonormal basis for a continuous functions space on an concrete ultrametric compact group G with values in an ultrametric field K , (ℚp ⊂ K ⊂ ℂp ), which we will denote C(G,K). Such an orthonormal basis has the “triangulary property”, which is a generalisation of the theorem of Mahler [6] : The system of polynoms n 0 n z ≥ ⎟ ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎜⎝ ⎛ ⎟ ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎜⎝ ⎛ is an orthonormal basis of the continuous functions space on the compact group of p-adic integers Zp with values in the K field, denoted C(Zp ,K), were K is an extension of ℚ p which is complet relative to the absolute value which extends the p-adic absolute value p , with p ≠ 2 ,[5, 6]. For this we introduce the notion of “triangular sequence and system”. Then we study the orthonormal basis for C(G,K), having this property. Last we will build two concrete examples of orthonormal bases verifying the previous property for C(Zp ,K) and C(G(α),K) spaces.

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